6次の隔たり ミルグラムの実験とスモールワールドをシミュレーションで見る
「地球上のどんな人とも、知り合いを6人たどれば繋がっている」。1967年、社会心理学者スタンレー・ミルグラムが行った手紙の実験から広まったこの考えは、1998年にダンカン・ワッツとスティーヴン・ストロガッツが提案したスモールワールド・ネットワークのモデルで説明がつきました。このページでは、人々のつながりをブラウザ上で生成し、実際に手紙を送るシミュレーションを行って、「なぜ6人で届くのか」を目で確かめます。
ミルグラムの手紙実験（1967年）
ミルグラムは、アメリカ中西部のネブラスカ州オマハなどに住む人々に1通ずつ小冊子を渡し、次のように依頼しました。 「ボストン近郊に住むある株式仲買人へこの冊子を届けてください。ただし、送ってよいのはファーストネームで呼び合うほど親しい知人だけです」。 冊子を受け取った人も同じルールで、目標人物に近そうな知人へ転送します。 こうして冊子が手渡された回数を数えれば、見ず知らずの2人の「社会的な距離」が測れるというわけです。
結果、目標人物に届いた冊子は約2割にとどまりましたが、届いたものは平均 5.2 人の仲介者を経ていました。 仲介者が5人なら手渡しは6回。ここから「6次の隔たり（six degrees of separation）」という言葉が生まれ、劇や映画のタイトルにもなりました。
ただし、この実験には弱点もあります。到達率が低いこと、届かなかった冊子の連鎖がもっと長かった可能性があること、そして参加者は最短経路を知っているわけではないことです。 後の2つの点は、下のシミュレーションで実際に確かめることができます。
シミュレーション：ネットワークを作って手紙を送る
円周上に並んだ点が人（ノード）、点を結ぶ線が知り合い関係（リンク）です。はじめは隣近所の k 人とだけ知り合いの「規則格子」を作り、 各リンクを確率 p で遠くの誰かにつなぎ替えます（ワッツ・ストロガッツ・モデル）。 そのうえでランダムに選んだ2人の間で手紙を送り、何ホップで届くかを数えます。 「手紙を1通送る」で1通ずつの動きを、「100通送る」でホップ数の分布を見てください。
ネットワークを生成しました。「手紙を1通送る」を押すと、ランダムに選んだ2人の間で手紙が旅をします。
このネットワークの性質
手紙の実験結果
まだ手紙を送っていません手紙が届くまでのホップ数の分布
表で見る
なぜ「6人」で届くのか：少数の近道が世界を小さくする
規則格子（p = 0）では、手紙は隣から隣へしか進めないので、円周の反対側に届くには N / k 回ほどの手渡しが必要です。 人が1000人で知人が10人なら約 100 ホップ。これでは「6次」にはほど遠い。
ところが、リンクのごく一部（たとえば 1% ）を遠くの誰かにつなぎ替えるだけで、平均経路長 L は急激に縮みます。 一方で、クラスタ係数 C（知人同士も知り合いである度合い）はほとんど下がりません。 ご近所づきあいの濃さを保ったまま、わずかな「近道」が世界全体を小さくする。 これがワッツとストロガッツが 1998 年に示した「スモールワールド」の正体です。
次のグラフは p を 0.0001 から 1 まで動かしたときの L と C を、p = 0 の値を 1 として描いたものです（Watts & Strogatz 1998 の図2の再現）。 横軸は対数目盛りです。L が落ちきってもまだ C が高い中間の領域がスモールワールドにあたります。
つなぎ替え確率 p と L, C の関係
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解説と補足
シミュレーションの見どころ
- 規則格子 → スモールワールド → ランダムの順にプリセットを切り替えて、「平均経路長 L」と「クラスタ係数 C」のタイルを見比べてください。p = 0.05 あたりで、L はランダムグラフに近いのに C はまだ規則格子に近いはずです。
- 手紙の届け方を「貪欲転送」に変えると、同じネットワークでもホップ数がぐっと増え、届かない手紙も出てきます。短い経路が存在することと、局所的な情報だけでそれを見つけられることは別問題です。ミルグラムの参加者が直面していたのは後者でした。
- N を 100 から 2000 まで変えても、スモールワールドでは L がゆっくりとしか増えません（L はおおむね log N に比例）。人口が 20 倍になっても、必要なホップ数はわずかしか増えないのです。
「経路がある」と「経路を見つけられる」は違う
ミルグラムの実験が驚くべきなのは、短い経路が存在したことだけではありません。 参加者たちが全体の地図を持たないまま、「宛先に近そうな知人に渡す」という単純なルールだけでその経路を見つけられたことです。 ジョン・クラインバーグ（2000年）は、遠くへの近道が「距離に応じたちょうどよい確率」で張られているときに限り、この貪欲な転送が効率よく働くことを数学的に示しました。 ワッツ、ドッズ、ニューマン（2002年）は、人が地理・職業・趣味など複数の「ものさし」で相手との近さを測っていることが、現実の社会で手紙が届く理由だと論じています。 このページの貪欲転送は円周上の位置という1つのものさししか使わないため、現実より苦戦します。
その後の検証
- ドッズ、ムハマド、ワッツ（2003年）は電子メールで 13 か国・18 人の目標人物に向けた約 2 万 4 千通の連鎖を追跡し、完了した連鎖の長さは平均 4 ステップ強、途中離脱を補正すると 5〜7 ステップと推定しました。
- Backstrom ら（2012年）は 7 億 2 千万人の Facebook 利用者の間の平均距離が 4.74 ホップであることを示し、2016 年の Facebook の再計算では 3.57 ホップになっています。
このシミュレーションの限界
ワッツ・ストロガッツ・モデルは、すべての人の知人の数がほぼ同じという前提に立っています。 現実の社会ネットワークには極端に多くの知人を持つ「ハブ」がいて（次数のべき分布）、平均経路長をさらに縮めています。 また、地理や所属といった多次元の構造もここでは省略しています。 それでも、「高いクラスタ係数と短い経路長が両立する」というスモールワールドの核心は、この単純なモデルで十分に体感できるはずです。
用語
- ノード・リンク
- ネットワークの点と線。ここでは人と知り合い関係。
- ホップ・最短経路
- リンクを1本たどることが1ホップ。2人を結ぶ経路のうちホップ数が最少のものが最短経路。
- 平均経路長 L
- すべての2人組について最短経路のホップ数を平均したもの。このページでは一部のノードから幅優先探索を行って推定している。
- クラスタ係数 C
- ある人の知人同士のうち、実際に知り合いであるペアの割合を全員について平均した値。「友達の友達は友達」の度合い。
- 規則格子
- 隣近所とだけつながった規則正しいネットワーク。C は高いが L はとても大きい。
- ランダムグラフ
- リンクの相手を完全にランダムに選んだネットワーク。L は小さいが C はほぼ 0。
- スモールワールド
- 規則格子なみに C が高く、ランダムグラフなみに L が小さいネットワーク。現実の社会・神経・電力網などに広く見られる。
- 幅優先探索（BFS）
- 出発点から1ホップ、2ホップ…と同心円状に探索する手法。図で波のように広がる色の塗りがこれにあたる。
参考文献
- Milgram, S. (1967). The small world problem. Psychology Today, 1(1), 61–67.
- Travers, J., & Milgram, S. (1969). An experimental study of the small world problem. Sociometry, 32(4), 425–443.
- Watts, D. J., & Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of 'small-world' networks. Nature, 393, 440–442.
- Kleinberg, J. (2000). Navigation in a small world. Nature, 406, 845.
- Watts, D. J., Dodds, P. S., & Newman, M. E. J. (2002). Identity and search in social networks. Science, 296, 1302–1305.
- Dodds, P. S., Muhamad, R., & Watts, D. J. (2003). An experimental study of search in global social networks. Science, 301, 827–829.
- Backstrom, L., Boldi, P., Rosa, M., Ugander, J., & Vigna, S. (2012). Four degrees of separation. Proc. ACM Web Science, 33–42.